Appearance
三点估算保姆级：把"大概也许"算成数字
本页导读：问你"这个功能几天能写完"，你说"顺利 8 天，正常 12 天，出岔子 22 天"——三个数怎么合成一个准数？还要能回答"15 天内干完有多大把握"？这就是三点估算（PERT）干的事。它常和关键路径合成一道案例大题，也是上午题常客。本页把 (O+4M+P)÷6 和标准差掰开揉碎讲，概率题教你怎么"查表"，零基础也能一遍懂。
你将学会
- 用"顺利/正常/糟糕"三个估计值算期望工期：(O+4M+P)÷6；
- 算标准差 σ=(P−O)÷6，理解它代表"波动有多大"；
- 把"多少天内完工"翻译成"几个 σ"，查表报概率（84%、97% 这些数怎么来的）；
- 多个活动串联时：期望相加、方差相加再开方；
- 顺带分清四类估算方法和两级储备（教程第 4 版口径，上午题常考）。
一、期望工期：(O+4M+P)÷6
① 生活例子引入
你每天上班通勤：一路绿灯 20 分钟（最顺利），通常 30 分钟（最常见），大堵车 60 分钟（最倒霉）。如果只报一个数，你会报多少？大概率是 30 出头——因为"通常 30 分钟"最常发生，应该占最大权重。PERT 就是这个思路：给"最可能值"4 倍权重，乐观、悲观各 1 倍，加起来除以 6（1+4+1=6）。
② 公式卡片
| 符号 | 中文名 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|---|
| O | 乐观值 | 一切顺利时的历时 | 天 |
| M | 最可能值 | 正常情况下的历时，出现机会最大 | 天 |
| P | 悲观值 | 最不利情况下的历时 | 天 |
| tE | 期望工期 | 加权平均出来的"准数" | 天 |
| 分布 | 公式 | 什么时候用 |
|---|---|---|
| 贝塔分布（PERT 标准式） | tE = (O + 4M + P) ÷ 6 | 默认用它，历史数据较充分 |
| 三角分布 | tE = (O + M + P) ÷ 3 | 数据不足、全靠主观拍脑袋时 |
口诀：见"4M"就是贝塔，见"等权除 3"就是三角。为什么是 4 倍：贝塔分布里 M 出现的概率最大，权重 4/6；O 和 P 各占 1/6。
③ 例题手把手
题目：某活动历时估算：乐观 O = 8 天，最可能 M = 12 天，悲观 P = 22 天。求贝塔分布下的期望工期。
- 写公式：tE = (O + 4M + P) ÷ 6（为什么除以 6：权重 1+4+1=6）；
- 先算 4M：4 × 12 = 48（为什么先算它：这是最容易漏乘的一项）；
- 三项相加：O + 4M + P = 8 + 48 + 22 = 78；
- 除以 6：78 ÷ 6 = 13（手算：6×13 = 78，整除）；
- 带单位写结论：tE = 13 天；
- 顺手算三角分布对照：tE' = (8+12+22) ÷ 3 = 42 ÷ 3 = 14 天——比贝塔大，因为本例 P 偏大（数据右偏）时，等权的三角分布结果更悲观。
④ 易错陷阱
- 4 只乘 M，别乘成 4×(O+M+P)，也别漏乘；
- 除以 6（贝塔）还是 3（三角），看清楚题目要哪种分布；
- O、M、P 必须满足 O ≤ M ≤ P，代入前扫一眼，顺序乱了结果是错的；
- 别把 tE 当"保证能完成的时间"——它只是期望，恰好按期完成的概率只有 50%（见第三部分）。
二、标准差：σ = (P − O) ÷ 6
① 生活例子引入
两条通勤路线，期望时间都是 30 分钟：地铁永远 29～31 分钟（稳）；开车 10～60 分钟（看运气）。期望一样，波动天差地别——标准差 σ 就是量波动的尺子：σ 越大越不靠谱。
② 公式卡片
| 符号 | 含义 | 公式 | 口诀 |
|---|---|---|---|
| σ | 标准差：波动有多大 | σ = (P − O) ÷ 6 | 坏减好除以六 |
| σ² | 方差：波动的平方口径 | σ² = [(P − O) ÷ 6]² | 多活动串联时方差相加 |
注意：σ 只跟两头差距（P − O）有关，跟 M 无关——同样的差距，不管最可能值在哪，波动一样大。
③ 例题手把手
题目：接上例（O = 8，P = 22），求标准差。
- 写公式：σ = (P − O) ÷ 6（为什么：差距越大越不确定）；
- 代入：σ = (22 − 8) ÷ 6 = 14 ÷ 6；
- 手算：6×2=12 余 2 → 补零 20÷6=3 余 2 → 再补零 20÷6=3… → 2.333…；
- 保留两位小数：σ ≈ 2.33 天；
- 写含义：期望 13 天上下，实际大概波动 2 天多；
- 顺手算方差备用：σ² = 2.333 × 2.333 ≈ 5.44（第四部分串联题要用）。
④ 易错陷阱
- σ 和 tE 的公式都除以 6，但分子不同：tE 用"加权和"，σ 用"两端差距"；
- σ²（方差）和 σ（标准差）是两个东西，串联路径时加的是方差，最后才开方；
- 单位也是"天"，但含义是"波动"不是"工期"，答含义题别说"工期是 2.33 天"。
三、概率查表：把"天数"翻译成"几个 σ"
① 生活例子引入
班里考试平均分 70、普遍波动 10 分（σ=10）。你考了 80，正好比平均高 1 个 σ——统计经验是：全班约 84% 的人考不过你。PERT 概率题同理：期望工期居中，问"X 天内完工"，就把 X 换算成"偏离期望几个 σ"，再查那张万能表。
概率密度
▲
│ ┌────┐
│ ╱│ │╲
│ ╱ │50% │ ╲
│ ╱ │一半│ ╲
│────────┴───┴────┴───┴──────► 工期
tE−2σ tE−1σ tE tE+1σ tE+2σ钟形曲线左右对称：期望 tE 正好把概率对半分，所以"tE 内完工 = 50%"；往右多覆盖 1σ，就多盖住 34.13% 的面积。
② 公式卡片
万能三步：
| 步骤 | 做什么 | 公式 |
|---|---|---|
| 1 | 算出 tE 和 σ | 前面两节的公式 |
| 2 | 把目标天数换算成"几个 σ" | k = (目标天数 − tE) ÷ σ |
| 3 | 查下表报概率 | 见下 |
正态分布概率速查表（考试要么直接给、要么默记）：
| 覆盖区间 | 完工概率 |
|---|---|
| tE ± 1σ | 68.27% |
| tE ± 2σ | 95.45% |
| tE ± 3σ | 99.73% |
| 恰好 tE（不早不晚） | 50% |
| tE + 1σ 以内 | 84.13%（=50% + 68.27%÷2） |
| tE + 2σ 以内 | 97.73%（=50% + 95.45%÷2） |
| tE − 1σ 以内 | 15.87%（=50% − 68.27%÷2） |
③ 例题手把手
题目：某活动 O = 12 天、M = 16 天、P = 26 天。求：(1) 期望工期与标准差；(2) 19.33 天内完工的概率。
- 写公式：tE = (O + 4M + P) ÷ 6；
- 代入：tE = (12 + 4×16 + 26) ÷ 6 = (12 + 64 + 26) ÷ 6 = 102 ÷ 6 = 17 天；
- 写公式：σ = (P − O) ÷ 6 = (26 − 12) ÷ 6 = 14 ÷ 6 ≈ 2.33 天；
- 换算目标天数：k = (19.33 − 17) ÷ 2.33 = 2.33 ÷ 2.33 = 1（目标正好在 tE + 1σ 处）；
- 查表：tE + 1σ 以内 → 50% + 68.27%÷2 = 50% + 34.13% = 84.13%；
- 写结论：19.33 天内完工的概率约 84%（答卷把"50% + 半区间"的推导写出来，过程分更稳）。
④ 易错陷阱
- 方向别搞反：目标天数大于 tE，概率才在 50% 之上；小于 tE 就要从 50% 里减（如 tE−1σ = 15.87%）；
- "在期望工期内完工"= 50%，不是 68%——68.27% 是 ±1σ 对称区间的概率；
- k 算出来不是整数（如 1.5σ）时，上午题选项一般给"最接近的"，用 1σ→84%、2σ→98% 夹逼估计；
- 题目问"超期概率"= 1 − 按期概率（如 tE+1σ 内 84.13% → 超期概率 15.87%）。
四、多活动串联：期望相加，方差相加
① 生活例子引入
通勤三段：地铁→步行→电梯。全程的"通常时间"是三段相加；但全程的"波动"不是简单相加——每段都堵到极致的概率很小，所以总波动比三段波动之和小。数学上：方差相加、再开方。
② 公式卡片
| 要算什么 | 公式 |
|---|---|
| 路径总期望 | 各活动 tE 直接相加 |
| 路径总方差 | 各活动 σ² 相加 |
| 路径总标准差 | 总 σ = √总方差（开方！） |
③ 例题手把手
题目：路径含三个串联活动：A（O=2，M=5，P=8）；B（O=3，M=6，P=9）；C（O=5，M=8，P=11）。求路径总期望工期与总标准差。
- 逐个算期望：A：tE = (2+4×5+8)÷6 = (2+20+8)÷6 = 30÷6 = 5 天；
- B：tE = (3+24+9)÷6 = 36÷6 = 6 天；
- C：tE = (5+32+11)÷6 = 48÷6 = 8 天；
- 总期望 = 5 + 6 + 8 = 19 天（期望直接加）；
- 逐个算标准差：A：σ = (8−2)÷6 = 1；B：σ = (9−3)÷6 = 1；C：σ = (11−5)÷6 = 1；
- 逐个算方差：1² = 1，1² = 1，1² = 1；
- 总方差 = 1 + 1 + 1 = 3；
- 总标准差 = √3 ≈ 1.73 天（背过 √3 ≈ 1.73 直接用）；
- 方向自查：1.73 < 1+1+1 = 3 ✔（开方一定比直加小，直加是经典错误）；
- 应用：19 天内完工概率 = 50%；20.73 天（= 19 + 1.73，即 tE+1σ）内 ≈ 84.13%。
④ 易错陷阱
- 把各活动 σ 直接相加得 3 天——大错，必须先平方、求和、再开方；
- 期望可以直加，方差才直加，两者规则别串；
- 这类题常和关键路径合出：先用 PERT 算每个活动的期望历时，再把期望历时当普通历时去推网络图。
五、四类估算方法与两级储备（教程第 4 版口径）
① 生活例子引入
装修报价怎么估？参考楼上同户型（类比）；按每平米单价乘面积（参数）；把每个房间逐项报一遍再合计（自下而上）；再问一句"最快多少、最慢多少"（三点）。报价单最后还有一行"不可预见费 8%"（应急储备），你私房钱里另留一笔防真正的意外（管理储备）。
② 公式卡片
四类估算方法：
| 方法 | 思路 | 判断标志词 |
|---|---|---|
| 类比估算 | 参考以往类似项目整体推算 | "参考以前的项目""和××项目差不多" |
| 参数估算 | 单位生产率 × 数量 | "每 KLOC 多少人天""每人天多少元" |
| 自下而上估算 | 先估最小工作包再逐层汇总 | "逐个活动/工作包加总" |
| 三点估算 | O/M/P 加权，考虑不确定性 | "乐观/最可能/悲观" |
两级储备：
| 对比项 | 应急储备 | 管理储备 |
|---|---|---|
| 针对什么 | 已识别风险（已知-未知） | 未识别风险（未知-未知） |
| 计入哪里 | 成本基准（BAC）之内 | 成本基准之外、总预算之内 |
| 谁能动用 | 项目经理权限内 | 需管理层批准/走变更 |
| 进不进挣值计算 | 进（在 BAC 里） | 不进 |
关系式：总预算 = 成本基准（BAC，含应急储备）+ 管理储备。
③ 例题手把手
题目：某项目基础估算 200 万元，应急储备按基础估算的 10% 计，管理储备按 5% 计。求成本基准 BAC 与总预算。
- 应急储备 = 200 × 10% = 20 万元；
- 成本基准 BAC = 200 + 20 = 220 万元（应急储备在基准内）；
- 管理储备 = 200 × 5% = 10 万元；
- 总预算 = BAC + 管理储备 = 220 + 10 = 230 万元；
- 自查关系式：总预算 230 = 基准 220 + 管理 10 ✔；挣值分析的 BAC 用 220，不是 230。
④ 易错陷阱
- 把管理储备塞进 BAC——挣值指标全算歪（上午题常考）；
- 两级储备的基数（乘百分之几、以什么为基数）按题目来，别默认都乘 BAC；
- 方法判断题认标志词：见"每单位×数量"就是参数法，别选成类比法；
- 三角/贝塔的选择跟这四类方法是两个维度：三点估算内部才分贝塔和三角。
术语卡
| 术语 | 一句话解释 |
|---|---|
| PERT | 计划评审技术：用三点估算法处理工期不确定性 |
| 期望工期 tE | 三点加权平均出的"最可能准数" |
| 标准差 σ | 波动大小；串联路径时方差相加再开方 |
| 贝塔分布 | PERT 默认：M 权重 4/6 的加权 |
| 三角分布 | 三点等权（各 1/3）的简化算法 |
| 应急储备 | 应对已识别风险的预备费用，在成本基准内 |
| 管理储备 | 应对未知风险的预备费用，在成本基准外 |
自测题（1 道综合题，先自己做再展开答案）
题目：某活动 O = 10 天、M = 15 天、P = 26 天。求：(1) 贝塔分布期望工期与标准差；(2) 21.3 天内完工的概率；(3) 16 天内完工的概率。
参考答案（点击展开）
(1) 期望与标准差
- tE = (O + 4M + P) ÷ 6 = (10 + 4×15 + 26) ÷ 6；
- 先算 4M = 60，再相加：10 + 60 + 26 = 96；
- 96 ÷ 6 = 16 天；
- σ = (P − O) ÷ 6 = (26 − 10) ÷ 6 = 16 ÷ 6 ≈ 2.67 天。
(2) 21.3 天内完工概率
- 换算 k = (21.3 − 16) ÷ 2.67 = 5.3 ÷ 2.67 ≈ 2（目标约在 tE + 2σ 处）；
- 查表：tE + 2σ 以内 = 50% + 95.45%÷2 = 50% + 47.73% = 97.73%。
(3) 16 天内完工概率
- 16 天恰好等于期望工期 tE；
- 钟形曲线左右对称，期望点左右各占一半；
- 结论：50%（陷阱自查：不是 68%——68.27% 是 ±1σ 区间的概率）。