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关键路径专题：网络图、时差与工期压缩
本页导读：关键路径法（CPM）是案例计算的第二大考点，常与赶工、资源平衡组合出题，也常和 PERT 合并成一道大题。本页讲清楚：怎么画/读单代号网络图（AON）、正推逆推怎么走、总时差与自由时差的区别、怎么判定关键路径，以及赶工与资源平衡怎么算。配 2 道自编例题，其中例题 1 是完整网络图推演（每个数字逐步算给你看）。
一、网络图基础：节点与逻辑
软考高项默认使用单代号网络图（AON，节点表示活动）：
活动名/历时 ES | 历时 | EF
┌─────┐
│ A │ 节点七格图（考试手画简图即可）
└─────┘ LS | TF | LF- 紧前活动：必须先完成才能开始本活动的活动；
- 汇聚点（多个紧前 → 本活动，如 F）：正推时取紧前 EF 的最大值；
- 分支点（本活动 → 多个紧后，如 A）：逆推时取紧后 LS 的最小值。
本页约定：时间坐标从第 0 天起算（ES 表示"最早在第几天末开始"），教材两种约定（0 起算/1 起算）结论一致，考试时按题目口径并在答卷上注明即可。
二、四步推演法
第 1 步：正推求 ES、EF（从左到右）
- 起点活动：ES = 0；
- 其他活动：ES = 所有紧前活动 EF 的最大值；
- EF = ES + 历时（D）。
口诀：正推取大。
第 2 步：逆推求 LS、LF（从右到左）
- 终点活动：LF = 总工期（= 终点 EF）；
- 其他活动：LF = 所有紧后活动 LS 的最小值；
- LS = LF − D。
口诀：逆推取小。
第 3 步：算时差
- 总时差 TF = LS − ES = LF − EF：本活动最多可推迟多久而不影响总工期；
- 自由时差 FF = min(紧后活动的 ES) − 本活动 EF：不影响任一紧后活动最早开始的推迟量。
要点：FF ≤ TF 恒成立。TF=0 的活动是关键活动，关键活动连成的最长路径即关键路径；关键路径上 FF 也必为 0（终点活动 TF=FF）。
第 4 步：连线判关键路径
关键路径 = 从起点到终点耗时最长的路径，决定总工期；可能不止一条。非关键路径与关键路径的历时差，等于其上活动总时差的最大可用空间。
三、例题 1（自编模拟题）：完整网络图推演
本题为自编模拟题。项目由 6 个活动组成，逻辑与历时如下：
| 活动 | 紧前 | 历时 D（天） |
|---|---|---|
| A | — | 3 |
| B | A | 5 |
| C | A | 4 |
| D | B | 6 |
| E | C | 5 |
| F | D、E | 2 |
问题：(1) 绘制网络图并计算各活动 ES/EF/LS/LF/TF；(2) 找出关键路径与总工期；(3) 说明 C 活动的总时差与自由时差各是多少，含义是什么。
解析：
先列路径枚举（双保险法）：
- 路径1：A→B→D→F = 3+5+6+2 = 16 天
- 路径2：A→C→E→F = 3+4+5+2 = 14 天
最长 16 天 → 预判关键路径为 A-B-D-F，下面用推演验证。
第 1 步：正推（ES、EF）
- A：ES=0，EF=0+3=3
- B（紧前 A）：ES=EF_A=3，EF=3+5=8
- C（紧前 A）：ES=3，EF=3+4=7
- D（紧前 B）：ES=8，EF=8+6=14
- E（紧前 C）：ES=7，EF=7+5=12
- F（紧前 D、E）：ES=max(EF_D, EF_E)=max(14,12)=14（取大），EF=14+2=16
第 2 步：逆推（LF、LS），总工期=EF_F=16
- F：LF=16，LS=16−2=14
- D（紧后 F）：LF=LS_F=14，LS=14−6=8
- E（紧后 F）：LF=14，LS=14−5=9
- B（紧后 D）：LF=LS_D=8，LS=8−5=3
- C（紧后 E）：LF=LS_E=9，LS=9−4=5
- A（紧后 B、C）：LF=min(LS_B, LS_C)=min(3,5)=3（取小），LS=3−3=0
第 3 步：时差汇总表
| 活动 | ES | EF | LS | LF | TF=LS−ES |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 ★ |
| B | 3 | 8 | 3 | 8 | 0 ★ |
| C | 3 | 7 | 5 | 9 | 4 |
| D | 8 | 14 | 8 | 14 | 0 ★ |
| E | 7 | 12 | 9 | 14 | 2 |
| F | 14 | 16 | 14 | 16 | 0 ★ |
第 4 步：结论
- 关键路径：A→B→D→F，总工期 16 天（与路径枚举一致 ✔）。
- C 的 TF=4：C 最多可晚开始 4 天而不影响总工期；C 的 FF=ES_E−EF_C=7−7=0：C 只要晚 1 天，就会推迟紧后活动 E 的最早开始（虽不影响总工期）。
- 本题完美示范"FF=0 但 TF>0"——考试常考这对概念的区别。
四、工期压缩：赶工与快速跟进
压缩工期的两条路：
- 赶工（Crashing）：给关键活动加资源换时间，代价是直接成本上升——选关键路径上单位赶工费用最低的活动压；
- 快速跟进（Fast Tracking）：原本串行的活动改为部分并行，代价是返工与风险上升。
赶工三原则：
- 只压关键路径（压非关键路径白花钱）；
- 每压一步重新判定关键路径——关键路径变短后，原次关键路径可能顶上来；
- 比较各活动"每天赶工费"，从便宜往贵压。
例题 2（自编模拟题）：赶工决策
本题为自编模拟题。接例题 1 的网络（关键路径 A-B-D-F=16 天，次关键 A-C-E-F=14 天）。可压缩情况与赶工费如下：
| 活动 | 可压缩上限（天） | 每天赶工费（千元） |
|---|---|---|
| A | 1 | 2.0 |
| B | 2 | 3.0 |
| D | 3 | 1.5 |
| C | 1 | 2.5 |
| E | 2 | 2.0 |
| F | 不可压 | — |
问题：(1) 工期压到 14 天，最少花费多少？怎么压？(2) 若进一步压到 13 天，还需增加多少花费？
解析：
(1) 16 天 → 14 天
- 关键路径 A-B-D-F 上，最便宜的是 D（1.5 千/天，上限 3 天）。压 D 2 天：A-B-D-F = 3+5+4+2 = 14 天。
- 此时与次关键路径 A-C-E-F（14 天）并列关键，恰好达标，不能只压其他活动。
- 花费 = 2 × 1.5 = 3.0 千元。
- 注意：若误压 B（3 千/天）2 天，花费 6 千元，非最优——先比单价再动手。
(2) 14 天 → 13 天
- 14 天时两条路径并列关键，必须同时压两条：
- A-B-D-F 侧：D 还剩 1 天余量（1.5 千/天），压 1 天 → 13 天；A 1 天 2 千、B 2 天 3 千更贵，故仍选 D；
- A-C-E-F 侧：E 2.0 千/天 < C 2.5 千/天，压 E 1 天 → 13 天；
- 增加花费 = 1×1.5 + 1×2.0 = 3.5 千元；
- 两问合计 3.0 + 3.5 = 6.5 千元，最终工期 13 天，A-B-D-F 与 A-C-E-F 双关键（均为 13 天）。
- 复核：A-B-D-F = 3+5+3+2 = 13 ✔；A-C-E-F = 3+4+4+2 = 13 ✔。
五、资源平衡与资源平滑（概念辨析）
| 方法 | 目标 | 对工期影响 |
|---|---|---|
| 资源平衡（Leveling） | 消除资源过载（同一时段需求超上限），在活动 TF 内调整开始时间 | 可能延长总工期（关键活动也可能被挪） |
| 资源平滑（Smoothing） | 在不影响总工期前提下，利用非关键活动的自由时差削峰填谷 | 不改变总工期（只能动 TF/FF>0 的活动） |
考试判断口诀：题目说"资源不足、重新排布后工期变长"→ 资源平衡；说"利用时差调整、完工日期不变"→ 资源平滑。
六、易错点清单
- 正推忘记取大、逆推忘记取小——汇聚点必取最大 EF，分支点必取最小 LS；
- 只看一条路径就宣布关键路径——必须枚举所有路径或全图推演，防止多条关键路径漏判；
- 赶工压了非关键活动——白花钱；或压完不重新判定，漏掉"次关键路径顶上来"；
- TF 与 FF 混淆——TF 对总工期，FF 对紧后活动的最早开始，FF≤TF；
- 时间约定不统一——0 起算与 1 起算混用导致差 1 天，全程统一并在答卷注明。
下一专题：PERT 与估算——把"不确定的工期"算成"期望+概率"。